Statistique : comparer des moyennes

1.2. Une propriété intéressante de la moyenne : gommer les aléas.

...et ce d'autant plus qu'on la calcule sur un grand nombre d'observations.

Admettons, pour simplifier, qu'il existerait une "vraie" valeur d'humeur pour chaque individu, valeur que vous cherchez à mesurer et à améliorer par une thérapie. Mais les individus vivent des expériences diverses qui constituent autant de perturbations de l'humeur. Chacune de ces perturbations est comme un petit effet aléatoire qui va dévier la mesure de l'humeur. Par exemple, Lucas aura appris la veille une mauvaise nouvelle, et son score individuel s'en trouvera abaissé indépendamment de la thérapie. Par ricochet, le score moyen de son groupe se trouvera aussi abaissé.

Par définition, les petits effets aléatoires sont imprévisibles. De ce fait, si beaucoup de petits effets se cumulent, certains vont tirer la moyenne vers le haut, d'autres vers le bas. Ils vont donc tendre à s'annuler les uns les autres et on peut montrer qu'en augmentant le nombre de sujets, les moyennes des échantillons obtenus tendent vers la "vraie" moyenne (sauf bien sûr s'il existe un biais systématique dans le recueil) : Plus vos échantillons de mesures avant et après seront importants, et moins vous risquerez de faire d'erreur en vous servant de ces échantillons comme étant des valeurs proches de la vraie valeur.

Pour le dire plus techniquement, et toutes choses étant égales par ailleurs, 
         _ plus l'échantillon de mesures avant est grand, et plus la moyenne de l'échantillon des mesures avant sera proche de la "vraie" valeur d'humeur des sujets n'ayant pas reçu la thérapie.
         _ plus l'échantillon de mesures après est grand, et plus la moyenne de l'échantillon des mesures après sera proche de la vraie valeur d'humeur des sujets ayant reçu la thérapie.
De ce fait, en comparant les deux valeurs, vous obtiendrez une estimation de l'efficacité de la thérapie.

Mais d'abord examinons de plus près ce que signifie vraiment "comparer des moyennes".