Produit cartésien

1. Exemple : les filles, les garçons, les petits, les moyens et les grands

Supposons qu'un extra-terrestre examine l'espèce humaine selon des catégories mentales limitées : il sait faire la différence entre les femmes et les hommes, mais sa capacité à différencier les humains selon leur taille se limite à les classer en trois catégories, à savoir les gens de petite taille, les gens de taille moyenne et les gens de grande taille.

Combien de types d'humains cet extra-terrestre peut-il reconnaître à partir de ses capacités de perception ? La réponse est : 6 types, représentés dans le tableau à double entrée ci-dessous :

L'ensemble de tous les types ainsi formés est un produit cartésien.

2. Définition

Un couple est la donnée de deux éléments ordonnés. Par exemple, le couple (a, b) n'est pas identique au couple (b, a).

On considère les ensembles E et F. Le produit cartésien E x F est l'ensemble des couples formés par un élément de E comme premier élément du couple, et par un élément de F comme second élément du couple.

3. Cardinal d'un produit cartésien

On considère l'ensemble E x F . On appelle le cardinal de E et on note card( E ) le nombre d'éléments de E Alors card( E x F ) = card(E) x card(F).

Remarque : le signe x dans l'expression ( E x F ) n'a pas la même signification que le signe x dans l'expression card(E) x card(F) : dans la première, il signifie le produit de deux ensembles,  tandis qu'il signifie le produit de deux nombres dans la seconde.