Produit cartésien
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| Cours: | UOH / Statistique et Psychométrie en L1 |
| Livre: | Produit cartésien |
| Imprimé par: | Visiteur anonyme |
| Date: | mercredi 8 mai 2024, 13:54 |
Description
Objectifs.
Introduire la notion d'ensemble
Prérequis.
Aucun.
Utilisé comme prérequis dans les articles :
Résumé.
On note
rédaction : Stéphane Vautier
, produit cartésien des ensembles 
et 
.
, et on appelle produit cartésien "E
croix
F", l'ensemble de tous les couples formés d'un élément de l'ensemble
et d'un élément de l'ensemble
.
1. Exemple : les filles, les garçons, les petits, les moyens et les grands
Supposons qu'un extra-terrestre examine l'espèce humaine selon des catégories mentales limitées : il sait faire la différence entre les femmes et les hommes, mais sa capacité à différencier les humains selon leur taille se limite à les classer en trois catégories, à savoir les gens de petite taille, les gens de taille moyenne et les gens de grande taille.
Combien de types d'humains cet extra-terrestre peut-il reconnaître à partir de ses capacités de perception ? La réponse est : 6 types, représentés dans le tableau à double entrée ci-dessous :
L'ensemble de tous les types ainsi formés est un produit cartésien.
2. Définition
Un couple est la donnée de deux éléments ordonnés. Par exemple, le couple (a, b) n'est pas identique au couple (b, a).
On considère les ensembles E et F. Le produit cartésien E x F est l'ensemble des couples formés par un élément de E comme premier élément du couple, et par un élément de F comme second élément du couple.
3. Cardinal d'un produit cartésien
On considère l'ensemble E x F . On appelle le cardinal de E et on note card( E ) le nombre d'éléments de E Alors card( E x F ) = card(E) x card(F).
Remarque : le signe x dans l'expression ( E x F ) n'a pas la même signification que le signe x dans l'expression card(E) x card(F) : dans la première, il signifie le produit de deux ensembles, tandis qu'il signifie le produit de deux nombres dans la seconde.