Relation d'ordre et ordre partiel

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Livre:	Relation d'ordre et ordre partiel

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Date:	jeudi 9 mai 2024, 06:18

Description

Objectifs : définir les notions de relation d'ordre et d'ordre partiel.

Prérequis : Relation d'équivalence

Utilisé comme prérequis dans les articles : Échelles de mesure

Résumé : Soit une relation binaire $\mathcal{R}$ définie sur un ensemble E. $\mathcal{R}$ est une relation d'ordre si elle est (1) réflexive; (2) antisymétrique et (3) transitive ; $\mathcal{R}$ est une relation d'ordre strict, si elle est (1) antiréflexive; (2) antisymétrique; et (3) transitive. Une relation d'ordre partiel, on dit aussi un ordre partiel, est une relation d'ordre telle qu'il existe certains couples (x, y) d'éléments distincts de E qui ne peuvent être comparés : tels que (x non $\mathcal{R}$ y) et (y non $\mathcal{R}$ x).

rédaction : Stéphane Vautier

1. Relation d'ordre

Soit un ensemble E d'au moins trois éléments x, y et z et une relation binaire $\mathcal{R}$ définie sur E. $\mathcal{R}$ est une relation d'ordre si elle possède les propriétés suivantes :

pour tout x et pour tout y de E, x ≠ y et x $\mathcal{R}$ y => y non $\mathcal{R}$ x : antisymétrie ; par exemple (cf. la photo illustrative en tête d'article), si Paul est devant Brigitte, Brigitte n'est pas devant Paul.
pour tout x, y, z de E, (x $\mathcal{R}$ y) et (y $\mathcal{R}$ z) => x $\mathcal{R}$ z : transitivité ; par exemple, si Brigitte est devant Mathieu, alors Paul est devant Mathieu.
si $\mathcal{R}$ est réflexive on parle de relation d'ordre, si $\mathcal{R}$ est anti-réflexive (il n'existe pas x tel que x $\mathcal{R}$ x) on parle d'ordre strict.

Remarque : la relation "se trouver avant dans une file d'attente" n'est pas une relation réflexive, car on ne peut pas être avant soi-même. Toute relation d'ordre peut être rendue réflexive. Par exemple, la relation "se trouver avant ou à la même place dans une file d'attente" est une relation d'ordre réflexive.

En psychologie, les préférences sont souvent considérées comme des relations d'ordre. Mais il ne va pas de soi qu'une préférence soit une relation d'ordre. Par exemple, soient trois types de sucreries :

des cacahuètes enrobées de chocolat revêtu d'une pellicule craquante, sucrée, et de couleur vive,
des céréales soufflées enrobées de chocolat,
des nounours translucides de différentes couleurs.

On peut préférer les cacahuètes aux céréales, les céréales aux nounours, et les nounours aux cacahuètes, on a : 1 > 2, 2 > 3, mais 3 > 1. En d'autres termes, contrairement aux relations d'ordre ou d'ordre strict, les préférences humaines ne sont pas toujours transitives.

2. Application : échelle de Likert

Une technique de recueil de données très répandue en psychologie consiste à demander aux personnes de juger un énoncé selon une "échelle d'opinion", comme cela est développé dans l'article Scores psychométriques, § 2. Cette technique a été proposée au début du XXe siècle dans le domaine de la psychologie des attitudes.

Par exemple, Likert, Roslow et Murphy ( 1993 ) distinguent les cinq catégories d'opinion suivantes :

être d'accord,
être fortement d'accord,
être en désaccord,
être fortement en désaccord,
ne pas savoir.

Ces catégories sont ordonnées de la manière suivante par rapport à la notion d'un "continuum d'attitude" :

fort désaccord < désaccord < indécision < accord < fort accord.

Cette graduation permet de définir une relation d'ordre sur l'ensemble des personnes qui jugent l'énoncé selon cette échelle de jugement. La relation entre deux éléments de l'ensemble des personnes peut être formulée comme "avoir une réponse supérieure ou égale à la réponse de".

On remarque que l'échelle de jugement définit aussi une relation d'équivalence : la relation "répondre comme". Une autre question est de déterminer la signification psychologique que l'on peut attacher à chaque classe d'équivalence. L'intérêt pratique d'une échelle de Likert est de permettre d'ordonner des personnes selon leurs réponses.

3. Ordre partiel

On appelle pour simplifier une relation d'ordre définie sur un ensemble E un ordre. Un ordre peut être total ou partiel. Un ordre total est une relation d'ordre $\mathcal{R}$ telle que pour tout couple (x, y) d'éléments distincts de E,

x $\mathcal{R}$ y ou
y $\mathcal{R}$ x.

Un ordre partiel est une relation d'ordre R telle qu'il existe un couple (x, y) d'éléments distincts de E tel que :

x non $\mathcal{R}$ y et
y non $\mathcal{R}$ x.

Les applications psychométriques sont une mine d'exemples d'ordres partiels. Soient deux items de test dont les modalités de réponse sont "échec" et "réussite". Considérons une personne P1 dont les réponses sont (échec, réussite), et une personne P2 dont les réponses sont (réussite, échec).

On définit un ordre R à partir de l'ensemble des catégories de réponse aux deux items. On a :

(échec, échec) < (réussite, échec) < (réussite, réussite)

et aussi

(échec, échec) < (échec, réussite) < (réussite, réussite),

mais on ne peut pas écrire (échec, réussite) < (réussite, échec) ni (réussite, échec) < (échec, réussite).

Les personnes testées appartenant aux classes d'équivalence (échec, réussite) ne peuvent pas être comparées aux personnes appartenant à la classe d'équivalence (réussite, échec) selon la relation d'ordre définie plus haut. Les relations d'ordre définies à partir des catégories de réponses à plusieurs items d'un test sont des ordres partiels.