Relation d'ordre et ordre partiel

On appelle pour simplifier une relation d'ordre définie sur un ensemble E un ordre. Un ordre peut être total ou partiel. Un ordre total est une relation d'ordre $\mathcal{R}$ telle que pour tout couple (x, y) d'éléments distincts de E,

• x $\mathcal{R}$ y ou
• y $\mathcal{R}$ x.

Un ordre partiel est une relation d'ordre R telle qu'il existe un couple (x, y) d'éléments distincts de E tel que :

• x non$\mathcal{R}$ y et
• y non$\mathcal{R}$ x.

Les applications psychométriques sont une mine d'exemples d'ordres partiels. Soient deux items de test dont les modalités de réponse sont "échec" et "réussite". Considérons une personne P1 dont les réponses sont (échec, réussite), et une personne P2 dont les réponses sont (réussite, échec).

On définit un ordre R à partir de l'ensemble des catégories de réponse aux deux items. On a :

(échec, échec) < (réussite, échec) < (réussite, réussite)

et aussi

(échec, échec) < (échec, réussite) < (réussite, réussite),

mais on ne peut pas écrire (échec, réussite) < (réussite, échec) ni (réussite, échec) < (échec, réussite).

Les personnes testées appartenant aux classes d'équivalence (échec, réussite) ne peuvent pas être comparées aux personnes appartenant à la classe d'équivalence (réussite, échec) selon la relation d'ordre définie plus haut. Les relations d'ordre définies à partir des catégories de réponses à plusieurs items d'un test sont des ordres partiels.