Encadrement de l'espérance d'une variable numérique discrète bornée
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| Cours: | UOH / Statistique et Psychométrie en L2 |
| Livre: | Encadrement de l'espérance d'une variable numérique discrète bornée |
| Imprimé par: | Visiteur anonyme |
| Date: | jeudi 9 mai 2024, 14:14 |
Description
Objectifs. Montrer que l'espérance d'une variable aléatoire numérique discrète bornée est comprise entre les bornes inférieure et supérieure de la variable.
Prérequis.
Résumé. On procède en deux temps : 1) montrer que l'espérance est supérieure ou égale à la valeur minimale de la variable, 2), montrer que l'espérance est inférieure ou égale à la valeur maximale de la variable.
Encadrement de l'espérance d'une variable numérique discrète bornée
1. Notations et définitions
Soit Y une variable aléatoire numérique discrète bornée. C'est une application d'un ensemble d'événements Ω dans un ensemble fini de valeurs numériques ( yi ) n .
La notation ( yi ) n désigne une suite croissante de n valeurs numériques :
( yi ) n = ( y 0 , y 1 , ..., yn ).
L'espérance de Y est définie s'il existe une loi de probabilité qui régit la réalisation des événements de ( yi ) n . On définit donc la loi de probabilité ( pi ) n = ( p 0 , p 1 , ..., pn ) telle que
- quel que soit i , pi appartient à [0, 1],
- la somme des pi est égale à 1.
L'espérance de Y , notée E ( Y ), est définie par :
E ( Y ) = p 0 y 0 + p 1 y 1 + ... + pn yn .
2. E ( Y ) ≥ y 0
On va utiliser la propriété suivante : si la valeur minimale de la variable est égale à 0, alors toutes les valeurs sont positives et donc l'espérance est aussi positive puisque les pi sont des valeurs positives.
Il existe un nombre réel k unique tel que y 0 + k = 0. On se donne la variable Y ' = Y + k définie dans (0, y ' 1 , ..., y ' n ). Elle est telle que E ( Y ') ≥ 0 car toutes les valeurs entrant dans sa définition sont positives.
Or E ( Y' ) = p 0 ( y 0 + k ) + p 1 ( y 1 + k ) + ... + pn ( yn + k ) = k + E ( Y ), d'où k + E ( Y ) ≥ 0, ce qui implique E ( Y ) ≥ - k . Or - k = y 0 . CQFD.
3. E ( Y ) ≤ yn
On va utiliser la propriété suivante : si la valeur maximale de la variable est égale à 0, alors toutes les valeurs sont négatives et donc l'espérance est aussi négative puisque les pi sont des valeurs positives.
Il existe un nombre réel l unique tel que yn + l = 0. On se donne la variable Y " = Y + l définie dans ( y " 0 , y " 1 , ..., 0). Elle est telle que E ( Y ") ≤ 0 car toutes les sommes entrant dans sa définition sont négatives.
Or E ( Y" ) = p 0 ( y 0 + l ) + p 1 ( y 1 + l ) + ... + pn ( yn + l ) = l + E ( Y ), d'où l + E ( Y ) ≤ 0, ce qui implique E ( Y ) ≤ - l . Or - l = yn . CQFD.