La statistique d’écart studentisée

1. Utilisation

La statistique d'écart studentisée ("studentized range" en anglais) notée q, est une fonction utilisée pour calculer différents tests post-hoc dans l'analyse de variance. Dans ce type de tests, plusieurs comparaisons de moyennes sont réalisées et l'on doit corriger le calcul de la valeur de significativité d'un test afin que l'erreur de l'ensemble des comparaisons ne dépasse pas le seuil qu'on se donne comme convention (généralement 5%, parfois 1% ou même moins, mais c'est rare pour les tests post-hoc).

La valeur q possède une distribution d’échantillonnage à partir de laquelle on peut construire des tables donnant ses valeurs critiques, c’est-à-dire les valeurs de q qu’il faut dépasser pour avoir une différence significative (voir par exemple la table de q que nous avons fournie en bas de cette page ou l'Annexe q de Howell). Les valeurs critiques de q, c'est-à-dire les valeurs que q doit dépasser pour être considéré comme significatif, dépendent de deux paramètres, le nombre r de groupes intervenant dans la comparaison globale (par exemple s’il y a 4 groupes, r =4), et le nombre de degrés de liberté de l'erreur de la comparaison globale (généralement N-k où N est le nombre total de sujets et k le nombre de groupes). C'est pourquoi on peut aussi la noter aussi q_r,ddl en signalant ainsi directement les deux paramètres intéressants, la valeur de r et celle du nombre de degrés de libertés.

Pourquoi doit-on utiliser ce paramètre r ? Tout simplement parce que plus il y a de groupes, plus l’écart entre la moyenne la plus basse et la plus haute risque d’être élevée et donc si H₀ globale est vraie, plus on risque de commettre une erreur de type I.

2. Calcul de q

On commence par ranger les moyennes des r différents groupes par ordre croissant de leurs valeurs moyennes, M₁ , M₂ ,..., M_r . La valeur q s’obtient très facilement à partir de la valeur t de comparaison des moyennes des deux groupes les plus extrêmes dans le classement, à savoir celui correspondant à M₁ , la moyenne la plus faible et celui correspondant à M_r , la moyenne la plus forte. En effet, on a

2.1. Cas avec variances homogènes

Vous pouvez aussi calculer q directement à partir de ces deux moyennes, M₁ et M_r , sans passer par le calcul de t , en appliquant la formule :

Le CM_Erreur s'obtient directement dans le tableau d'ANOVA. Bien sûr si les effectifs sont égaux, la formule précédente se simplifie puisqu'alors n_r = n₁.

2.2. Cas avec variances hétérogènes

Lorsque les échantillons sont de taille inégales mais les variances homogènes, Games et Howell (voir Howell, p. 384) ont proposé de calculer les choses séparément pour chaque paire de moyennes M_i , M_j :

Le lecteur aura noté que la formule fait référence à ddl' et non plus simplement ddl. On compare donc q avec la valeur critique obtenue dans la table avec les paramètres r et le nombre de degrés de liberté ddl'. La valeur de ddl' à utiliser s'obtient par la formule

2. Une table des valeurs critiques de q au seuil de .05

Cette table a été réalisée par nos soins en utilisant la fonction "qtukey" du logiciel de statistiques R, et en faisant varier de 3 à 10 le nombre r de groupes impliqués dans la comparaison, et de 2 à 100 le nombre de degrés de libertés de la comparaison.

Ainsi par exemple pour une comparaison des deux moyennes les plus extrêmes parmi 6 ( r =6) groupes de 25 sujets chacun, la valeur que q devra dépasser pour que la comparaison soit significative est 4.358.

Nous n'avons pas indiqué les valeurs pour le cas r =2 car alors il n'y a pas véritablement lieu d'utiliser la statistique d'écart studentisée.