Fréquence conditionnelle

2. Couple de variables et notations

Le couple de variables ( X , Y ) est une application d'un ensemble d'êtres, ensemble noté généralement Ω, dans un ensemble d'objets qui sont des couples de valeurs descriptives. Cet ensemble est le produit cartésien de l'ensemble M( X ) des valeurs descriptives de la variable X et de l'ensemble M( Y ) des valeurs descriptives de la variable Y . Cet ensemble, qui s'appelle un référentiel de description (https://iris.univ-tlse2.fr/course/view.php?id=7873#section-5) est

M( X ) × M( Y ) = { x ₁ , x ₂ , ..., x_i , ..., x_p } × { y ₁ , y ₂ , ..., y_j , ..., y_q } = {( x ₁ , y ₁ ), ( x ₁ , y ₂ ), ..., ( x _i , y_j ), ..., ( x_p , y_q )}.

Les éléments du référentiel de description sont des objets conceptuels (des états). Ces objets se répartissent dans le tableau à double entrée associée au couple ( X , Y ) suivant :

	y ₁	y ₂	...	y _i	...	y _q
x ₁	( x ₁ , y ₁ )	( x ₁ , y ₂ )		( x ₁ , y_j )		( x ₁ , y_q )
x ₂	( x ₂ , y ₁ )	( x ₂ , y ₂ )		( x ₂ , y_j )		( x ₂ , y_q )
...
x_i	( x_i , y ₁ )	( x_i , y ₂ )		( x _i , y_j )		( x_i , y_q )
...
x_p	( x _p , y ₁ )	( x _p , y ₂ )		( x _p , y_j )		( x _p , y_q )

Explicitons les symboles utilisés dans ces notations :

Les lettres x et y désignent des valeurs descriptives. Elles sont en minuscule pour ne pas confondre avec les lettres majuscules X et Y qui désignent des variables. Les valeurs descriptives sont numérotées. Ainsi, la variable X possède p valeurs, numérotées de 1 à p ; la lettre i indique la i ème valeur. Ces numéros sont ajoutés en indice de la lettre x , ce qui permet de désigner n'importe quelle valeur particulière de la variable X. Même raisonnement pour les lettres y de la variable Y qui possède q valeurs.
Un couple est un ensemble ordonné : (X , Y) n'est pas la même chose que (Y , X) alors que {X , Y} = {Y , X}. On convient de ce que les lignes sont toujours réservées à la première variable du couple, et de ce que les colonnes sont toujours réservées à la seconde variable du couple (truc mnémotechnique : Li-Co pour ligne puis colonne).
Les nombres ne sont jamais en italique. Les lettres sont en italique sauf exception cosmétique (par exemple Ω).

La table de contingence associée à (X , Y) est le même tableau, à la différence que les cellules du tableau contiennent le nombre des états -- ou objets -- (x , y) observés. Voici les notations associées :

	y ₁	y ₂	...	y _i	...	y _q
x ₁	n ₁₁	n ₁₂		n _{1 j}		n _{1 q}	n _{1 •}
x ₂	n ₂₁	n ₂₂		n ₂ _j		n _{1 q}	n _{2 •}
...
x_i	n _{i 1}	n _{i 2}		n_ij		n_iq	n _{i •}
...
x_p	n _{p 1}	n _p ₂		n _p _j		n _p _q	n_p _•
	n _{• 1}	n _{• 2}		n _{• j}		n _{• q}	n

Par exemple, la notation n ₁₂ désigne le nombre de fois où l'état (x₁ , y₂) a été observé dans Ω. C'est un effectif conjoint. La dernière ligne et la dernière colonne indiquent les effectifs marginaux. Par exemple, la notation n_{1
•} indique le nombre de cas se trouvant dans l'état x₁ ; le point qui suit l'indice 1 indique qu'on ne se soucie pas des valeurs prises par ces cas en Y.