Relation d'équivalence

Les éléments de définition qui suivent sont empruntés à Barbut et Monjardet (1970a). On considère un ensemble E composé d'au moins deux éléments distincts. On considère une relation binaire R permettant de mettre les éléments de E en relation.

La relation $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence si elle possède les trois propriétés suivantes :

• pour tout x de E, $x\mathcal{R}x$ : réflexivité ;
• pour tout x, y de E, $x\mathcal{R}y\Rightarrow y\mathcal{R}x$ : symétrie ;
• pour tout x, y, z de E, $(x\mathcal{R}y$ et $y\mathcal{R}z)\Rightarrow x\mathcal{R}z$ : transitivité.

La classe d'équivalence d'un élément x de E est la partie de E formée de tous les éléments qui sont en relation avec x. Les parties de E obtenues comme classe d'équivalence d'un élément x de E sont les classes d'équivalence induites par  $\mathcal{R}$. Ces classes d'équivalence forment une partition de E. L'ensemble quotient, noté E/R, est l'ensemble des classes d'équivalences induites par  $\mathcal{R}$.