Relation d'équivalence

1. Définitions

Les éléments de définition qui suivent sont empruntés à Barbut et Monjardet (1970a). On considère un ensemble E composé d'au moins deux éléments distincts. On considère une relation binaire R permettant de mettre les éléments de E en relation.

La relation \mathcal{R} est une relation d'équivalence si elle possède les trois propriétés suivantes :

  • pour tout x de E, x\mathcal{R}x : réflexivité ;
  • pour tout x, y de E, x\mathcal{R}y\Rightarrow y\mathcal{R}x : symétrie ;
  • pour tout x, y, z de E, (x\mathcal{R}y et y\mathcal{R}z)\Rightarrow x\mathcal{R}z : transitivité.

La classe d'équivalence d'un élément x de E est la partie de E formée de tous les éléments qui sont en relation avec x. Les parties de E obtenues comme classe d'équivalence d'un élément x de E sont les classes d'équivalence induites par  \mathcal{R}. Ces classes d'équivalence forment une partition de E. L'ensemble quotient, noté E/R, est l'ensemble des classes d'équivalences induites par  \mathcal{R}.

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