L'ordre produit direct

L'ordre produit direct

1. Exemples

On va d'abord approcher l'opérateur d'ordre produit direct (OPD) qu'on peut noter "»", de manière concrète et intuitive.

1) On considère la note en math et la note en français d'élèves et on admet que cela suffit pour évaluer le niveau scolaire. Paul a les notes (5 ; 15), tandis que Julie a les notes (4, 14). Alors Paul a un meilleur niveau scolaire que Julie et on écrit "Paul » Julie". En effet, la comparaison terme à terme des deux couples de notes donne Paul toujours meilleur. 

2) Maintenant, on considère que Julie a les notes (6 ; 0). On ne peut pas écrire Paul » Julie parce qu'en math, Julie est meilleure que Paul. Autrement dit, Paul et Julie ne sont pas comparables et la notion de niveau scolaire ne s'applique pas dans ce cas.

Pour qu'on puisse écrire Paul » Julie, il faut que Paul ait de meilleures notes que Julie dans toutes les matières.

2. Définition générale

On considère k ≥ 2 ensembles M _i simplement (on peut aussi dire totalement) ordonnés de cardinal c. Par exemple, M ₁ est l'ensemble des notes en math, et M ₂ l'ensemble des notes en français. Ces ensembles sont identiques, mais le niveau scolaire suppose la donnée de deux notes : une en math, et une en français. On note de manière générale ces ensembles de la manière suivante :

M _i = {x _ij , j= 1, ..., c }.

Par exemple, le score x₂₈ désigne la huitième note de l'ensemble des notes de français, tandis que x₁₈ désigne la huitième note de l'ensemble des notes de math.

Lorsqu'on s'intéresse aux vecteurs des données (par exemple le vecteur (6, 0) de Julie), on trouve ces vecteurs dans le produit cartésien des ensembles M_i. Soit M^k le produit cartésien des k ensembles M _i . Soient x et y deux éléments quelconques de M ^k : 

x = ( x₁ , x₂ , ..., x_c ), avec x_i une valeur dans M_i = {x_ij , j= 1, ..., c} ,  

y = ( y₁ , y₂ , ..., y_c ), avec y_i une valeur dans M_i .

Définition :

x » y si et seulement si pour tout i, x_i ≥ y_i .

Pour aller plus loin : Barbut & Monjardet (1970).