Variable aléatoire
Objectifs. Introduire la notion de variable aléatoire.
Prérequis. Produit cartésien
Résumé. La notion de variable aléatoire formalise l'idée qu'un phénomène variable varie selon une certaine loi de probabilité. Pour modéliser le phénomène, on définit un ensemble Ω de résultats possibles associés à une expérience aléatoire, un ensemble A de valeurs que peut prendre le phénomène, une application de l'ensemble Ω dans l'ensemble A, qui à tout résultat possible associe une et une seule valeur dans A. Enfin, on définit une probabilité des valeurs possibles en fonction de la structure précédente. Cette structure est généralement purement théorique dans les applications en psychologie.
Contient deux animations.
rédaction : Stéphane Vautier
2. Exemple 1 : le choix du film au cinéma
Le choix du film par les spectateurs lorsqu'ils achètent leur billet de cinéma est typiquement un phénomène variable. Du point de vue du spectateur, ce choix est certainement prévisible, puisqu'il obéit à un processus de décision dont on pourrait tenter de faire l'analyse psychologique. Du point de vue du gérant du cinéma, lorsqu'un spectateur quelconque se présente au guichet du cinéma ou achète son billet par internet, le choix du film est un événement imprévisible. Cependant, on sait que certains films "marchent" mieux que d'autres. On peut alors être intéressé par la modélisation du phénomène à l'aide d'une variable aléatoire "choix du film".
On définit l'ensemble Ω comme un ensemble produit cartésien de deux ensembles :
- l'ensemble U des spectateurs qui vont au cinéma,
- l'ensemble C des films disponibles ; on suppose, pour illustrer, que C contient cinq films.
Le produit cartésien Ω = U×C est l'ensemble de tous les couples de la forme (un spectateur, un film), c'est-à-dire de tous les résultats possibles : une personne donnée choisissant un film donné.
On définit ici l'ensemble Films comme l'ensemble des titres des films : Films = {A, B, C, D, E}, avec
- A = Le bon, la brute et le cinglé,
- B = Mesrine : l'instinct de mort,
- C = L'échange,
- D = The visitor,
- E = Séraphine.
L'application de Ω = U×C dans Films associe à tout couple de Ω un et un seul titre de film de manière appropriée.
L'expérience aléatoire est une expérience par la pensée, qui consiste à considérer que la réalisation d'un résultat, à savoir un couple particulier de Ω, est le résultat d'un tirage au sort dans une urne dont la composition est inconnue. Comme la composition de l'urne est inconnue, la probabilité associée à la variable "choix du film" est inconnue. On peut estimer cette probabilité à partir des fréquences observées.
L'animation ci-dessous simule le choix des films par des spectateurs inconnus à l'aide d'une variable aléatoire, telle que P(A) = 0.6, P(B) = 0.1, P(C) = 0.2, P(D) = .08, P(E) = 0.02. Pour simuler l'achat d'un billet de cinéma, il suffit de cliquer sur le bouton "Tracer".
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