Rappels de maths pour le cours de L2

Objectifs . Définir une application.

Prérequis. Aucun.

Résumé. Une relation R reliant les éléments d'un ensemble E aux éléments d'un ensemble F est une application si tout élément de E a exactement une image dans F.

A. Préalable

Considérons deux ensembles non vides E et F, et la relation notée R qui relie les éléments de E aux éléments de F. La figure ci-dessus est une relation de ce type.

Remarques

• On appelle une telle relation une relation binaire parce que les éléments reliés forment des couples, comme par exemple le couple (a, 1).
• L'ensemble E s'appelle l'ensemble de départ de la relation.
• L'ensemble F s'appelle l'ensemble d'arrivée de la relation.
• Rien n'empêche de définir une relation d'un ensemble dans lui-même, auquel cas cet ensemble sert d'ensemble de départ et d'ensemble d'arrivée.

B. Définition

On appelle application une relation binaire qui, à tout élément de l'ensemble de départ, associe exactement un élément de l'ensemble d'arrivée.

Soit R une application de E dans F, et soit a R 1. On dit que 1 est l'image de a par R, et que a est l'antécédent de 1 par R.

C. Exemple et contre-exemples

Exemple : considérons l'ensemble des êtres humains amoureux et imaginons que les humains amoureux n'aient qu'une relation amoureuse à la fois. La relation "est amoureux de" est une application.

Contre-exemple 1 : si on considère qu'un être humain peut être amoureux de plusieurs personnes à la fois, alors la relation "est amoureux de" n'est pas une application puisqu'il existe au moins un être humain qui est amoureux d'au moins deux personnes.

Contre-exemple 2 : considérons maintenant l'ensemble des êtres humains tout court. La relation "est amoureux de" n'est pas une application puisqu'il existe au moins un être humain qui n'est amoureux de personne.