UOH / Statistique et Psychométrie en L1

On considère à présent un test composé de m items. Le score composite y d'une personne particulière est obtenu par une fonction composant les scores élémentaires obtenus par cette personne aux m items du test. On peut écrire cela formellement de la manière suivante :

$y=f(y_1,y_2,\ldots,y_m)$

Généralement, cette fonction de composition numérique consiste à faire la somme des scores élémentaires. Par exemple, le score d'anxiété-état obtenu à l'inventaire de Spielberger et al. est la somme des 20 scores élémentaires obtenus aux items de l'échelle d'anxiété-état.

Une autre façon équivalente de définir un score composite est de construire directement l'application qui relie (i) l'ensemble des patrons de réponse à tous les items entrant en ligne de compte dans la formule du score à (ii) l'ensemble des nombres. En pratique, cette approche n'est pas utilisée, du fait du nombre astronomique de patrons de réponses qu'il faudrait considérer pour définir l'ensemble de départ de manière exhaustive.

Pour illustrer l'ampleur de l'application qui sous-tend un score composite, considérons les 20 items de l'échelle d'anxiété-état de l'inventaire de Spielberger et al. Quel est le cardinal de l'ensemble de départ, c'est-à-dire de l'ensemble de tous les patrons de réponses aux 20 items ? On peut en faire le dénombrement de la façon suivante :

• les quatre possibilités de réponse au premier item se combinent aux quatre possibilités de réponse au second item, ce qui donne 16 patrons de réponses possibles ;
• ces 16 patrons de réponses se combinent aux quatre possibilités de réponse du troisième item, ce qui donne 4³ patrons de réponses possibles ;
• et ainsi de suite jusqu'au vingtième item, ce qui donne 4²⁰, soit plus de 1000 milliards de possibilités.

Quel est le cardinal de l'ensemble d'arrivée ? Le nombre de scores contenus dans l'ensemble d'arrivée dépend des scores minimum et maximum possibles. Le score minimum correspond à la somme des plus petits scores, soit 20 points ; le score maximum correspond par la somme des plus grands scores, soit 80 points. Les scores possibles sont les entiers compris entre 20 et 80 inclus, on a donc 80 - 20 + 1 = 61 scores possibles.

Finalement, le score composite est défini par une relation qui à tout patron de réponses parmi 4²⁰ associe un seul score entier compris entre 20 (score minimum) et 80 (score maximum) points.