Encadrement de l'espérance d'une variable numérique discrète bornée

1. Notations et définitions

Soit Y une variable aléatoire numérique discrète bornée. C'est une application d'un ensemble d'événements Ω dans un ensemble fini de valeurs numériques ( y_i ) _n .

La notation ( y_i ) _n désigne une suite croissante de n valeurs numériques :

 ( y_i ) _n = ( y ₀ , y ₁ , ..., y_n ).

L'espérance de Y est définie s'il existe une loi de probabilité qui régit la réalisation des événements de ( y_i ) _n . On définit donc la loi de probabilité ( p_i ) _n = ( p ₀ , p ₁ , ..., p_n ) telle que

- quel que soit i ,  p_i appartient à [0, 1],

- la somme des p_i est égale à 1.

L'espérance de Y , notée E ( Y ), est définie par :

E ( Y ) = p ₀ y ₀ + p ₁ y ₁ + ... + p_n y_n .

2.  E ( Y ) ≥ y ₀

On va utiliser la propriété suivante : si la valeur minimale de la variable est égale à 0, alors toutes les valeurs sont positives et donc l'espérance est aussi positive puisque les p_i sont des valeurs positives.

Il existe un nombre réel k unique tel que y ₀ + k = 0. On se donne la variable Y ' = Y + k définie dans (0, y ' ₁ , ..., y ' _n ). Elle est telle que E ( Y ') ≥ 0 car toutes les valeurs entrant dans sa définition sont positives.

Or  E ( Y' ) = p ₀ ( y ₀ + k ) + p ₁ ( y ₁ + k ) + ... + p_n ( y_n + k )  = k + E ( Y ), d'où k + E ( Y ) ≥ 0, ce qui implique E ( Y ) ≥ - k . Or - k = y ₀ . CQFD.

3.  E ( Y ) ≤ y_n

On va utiliser la propriété suivante : si la valeur maximale de la variable est égale à 0, alors toutes les valeurs sont négatives et donc l'espérance est aussi négative puisque les p_i sont des valeurs positives.

Il existe un nombre réel l unique tel que y_n + l = 0. On se donne la variable Y " = Y + l définie dans ( y " ₀ , y " ₁ , ..., 0). Elle est telle que E ( Y ") ≤ 0 car toutes les sommes entrant dans sa définition sont négatives.

Or  E ( Y" ) = p ₀ ( y ₀ + l ) + p ₁ ( y ₁ + l ) + ... + p_n ( y_n + l )  = l + E ( Y ), d'où l + E ( Y ) ≤ 0, ce qui implique E ( Y ) ≤ - l . Or - l = y_n . CQFD.