Statistique : comparer des moyennes

Dans l'article précédent, nous avons appris à réaliser une ANOVA globale ou "omnibus". Le fond de l'ANOVA est de répartir les observations dans différentes conditions expérimentales et de regarder si les mesures prises dans l'ensemble des conditions peuvent être considérées comme égales ou non. L'hypothèse nulle est que toutes les moyennes en présence sont égales. Mais on s'intéresse souvent non pas à un ensemble global mais à des comparaisons plus spécifiques. En effet, supposons que nous ayons troisgroupes expérimentaux où l'on teste deux variantes d'une stratégie thérapeutique. Le groupe 1 où l'on a appliqué la thérapie A, le groupe 2où l'on appliqué la thérapie B, et enfin le groupe 3, groupe contrôle composé de sujets qui n'ont reçu aucune thérapie. L'effet consiste basiquement en ce que les moyennes sont différentes. Mais qu'est-ce qui est différent ? Est-ce le groupe 1 qui est différent du groupe 2 ? Ou bien le 1 est-il différent du 3 ? Ou encore le 2 est-il différent du 3 ?

1.1. Comparaisons par paires de groupes

Comme dans l'exemple précédent, on peut d'abord s'interroger sur les comparaisons de deux groupes que l'on peut faire au sein des k groupes. Ce qui peut en faire beaucoup. De manière générale, si nous avons k groupes,  il y a k façons de choisir le premier groupe de la comparaison. Pour chaque groupe de départ, il reste alors k -1 façons de choisir le second groupe de la comparaison. cela ferait donc k *( k -1) façon de construire des comparaisons de deux groupes. Toutefois, dans ce calcul, on compte une comparaison pour le groupe 1 d'abord avec le groupe 3 en deuxième position, mais en on compte aussi une pour la comparaison ayant le groupe 3 comme premier groupe, et le groupe 1 comme second groupe. Or, la comparaison est la même dans ces deux cas. Il faut donc diviser par deux pour avoir le vrai nombre de comparaisons différentes possibles, soit k ×( k -1)/2. Ainsi avec k =3 groupes, cela fait 3×2/2 = 3 comparaisons par paires de groupes. Avec 4 groupes, cela fait 4×3/2 = 6 comparaisons.  Avec 5 groupes, cela fait 5×4/2 = 10 comparaisons possibles. Etc.

1.2. Comparaisons par ensembles de groupes

Si nous reprenons notre exemple, on voit que l'on peut s'intéresser à comparer la thérapie A (groupe 1) avec la thérapie B (groupe 2) pour décider laquelle est la meilleure. On peut aussi comparer chacune d'elles avec le groupe contrôle. Mais on pourrait très bien décider de traiter ensemble les deux thérapies et les comparer au groupe contrôle. Autrement dit, de comparer les groupes 1 et 2 pris ensemble, contre le groupe 3. Ou encore 1 et 3 contre 2, etc.

Supposons que l'on travaille avec un facteur à quatre groupes, outre les six comparaisons par paire, il faudra encore considérer toutes les possibilités de comparer un groupe contre deux, mais aussi un groupe contre trois, et encore deux groupes contre trois.