Psychométrie : théorie et applications

Une échelle de scores est un ensemble ordonné de nombres. Par exemple, les scores de l'échelle d'attachement au quartier sont compris dans l'ensemble {6, 7, ..., 30}. Cet ensemble, muni de la relation ≤, forme ce qu'on appelle un ordre simple et nous allons définir précisément ce qu'est un ordre simple. La relation ≤ est appelée une relation binaire parce qu'on forme des propositions de la forme a ≤ b, qui relient un terme (a) à un autre (b). Une relation binaire définie sur un certain ensemble est un ordre simple si elle possède les trois propriétés définitoires suivantes :

• La transitivité : soient trois nombres quelconques a, b et c de l'échelle des scores. Si a ≤ b et b ≤ c, alors a ≤ c.

Pour prouver que la relation ≤ est transitive sur l'échelle des scores, on peut vérifier que la proposition ci-dessus est vraie pour tous les triplets (a, b, c) possibles. Dénombrons-les. L'échelle comprend 30 - 5 = 25 scores. On a donc 25 choix pour le premier nombre. Ce choix étant effectué, on a aussi 25 choix pour le second nombre. Ce choix étant effectué, on a aussi 25 choix pour le troisième nombre. On a donc 25 ³ = 15625 propositions à vérifier. Si on a a ≤ b et b ≤ c, alors on doit avoir a ≤ c. Sinon, peu importe.

• L'antisymétrie : soient deux nombres quelconques a et b de l'échelle. Si a ≤ b et b ≤ a, alors a = b.

Pour prouver que la relation ≤ est antisymétrique sur l'échelle des scores, on peut vérifier que la proposition ci-dessus est vraie pour tous les couples (a, b) possibles. On procède, comme précédemment, par un examen systématique de la validité des 25 ² = 625 propositions relationnelles possibles.

• La complétude forte (strong completeness) : soient deux nombres quelconques a et b de l'échelle. a ≤ b ou b ≤ a.

La preuve s'obtient aussi par vérification systématique (à défaut d'une stratégie mathématique plus économique).

Remarque : la complétude forte implique une autre propriété qu'on appelle la réflexivité : a ≤ a. Pour prouver cela, il suffit de remplacer b par a dans la définition de la complétude forte. La complétude tout court signifie que pour tout a ≠ b, a ≤ b ou b ≤ a.

Le problème qui se pose à présent est de savoir si l'ensemble des réponses au test peut être muni d'une relation qui permet de définir un ordre simple. En effet, le test permet d'observer des 6-uplets de réponses. Si le domaine des faits observables n'est pas un ordre simple, on ne peut pas déduire que c'est un ordre simple et l'échelle des scores ne représente pas correctement ce qui se passe dans la réalité à laquelle le questionnaire permet d'accéder.

Note. Par définition, le test ne permet pas d'accéder au vécu d'attachement au quartier. Il permet d'accéder à un monde de verbalisations possibles.