Psychométrie : théorie et applications

On considère un test composé de deux items cotés dans {0, 1}. Définir l'échelle des scores S en considérant que le score compte le nombre de réponses correctes (cotées 1). Montrer que la relation ≤ définie sur S est un ordre simple. (Cette démonstration est très formelle, mais elle doit être acquise dans son principe pour aller plus loin avec des objets non numériques, comme, en particulier, des phénomènes observés en psychologie).

L'espace d'échantillonnage du test est E = {00, 01, 10, 11}. On obtient donc l'échelle S = {0, 1, 2}. La relation ≤ définie sur S est un ordre simple si elle est transitive, antisymétrique, et fortement complète.

Transitivité : on considère les 3×3×3 triplets de nombres possibles et on vérifie que $a \leq b$ et $b \leq c \Rightarrow a \leq c$, c'est-à-dire que si on a $a \leq b$ et $b \leq c$, alors on a aussi $a \leq c$. Les vérifications sont listées ci-dessous.

Antisymétrie : on considère les 3×3 couples de nombres possibles et on vérifie que $a \leq b$ et $b \leq a \Rightarrow a=b$. Les vérifications sont listées ci-dessous.

Complétude forte : on considère les 3×3 couples de nombres possibles et on vérifie que $a \leq b$ ou $b \leq a$. Les vérifications sont listées ci-dessous.

La relation ≤ définie sur S est transitive, antisymétrique et fortement complète, donc c'est par définition une relation d'ordre simple.