Algèbre d'événements
Objectifs. Définir et illustrer la notion d'algèbre d'événements.
Prérequis.
Résumé. La notion de fréquence conditionnelle repose sur la donnée d'un couple de variables discrètes (X, Y). La fréquence d'une certaine valeur yj en Y conditionnellement à une certaine valeur xi en X est la proportion des cas de la classe xi qui ont pour valeur yj.
2. Événements associés à une épreuve
La mathématisation de l'empirique est constitutive de la démarche de l'acquisition de connaissances scientifiques.
"La connaissance scientifique de ce qui relève de l'expérience consiste toujours à construire des schémas ou modèles abstraits de cette expérience, et à exploiter, au moyen de la logique et des mathématiques, les relations entre les éléments abstraits de ces modèles, de façon à en déduire finalement des propriétés correspondant avec suffisamment de précision à des propriétés empiriques directement observables" (Granger, 1995, p. 70).
Si la psychologie doit devenir une science, elle n'échappe pas à la nécessité de mathématiser son domaine d'observations.Dans cet article, nous nous appuierons sur le chapitre introductif de l'ouvrage d'Alfred Rényi (1966) sur les probabilités. Rényi définit un événement comme un objet mathématique, c'est-à-dire comme un concept dont la signification est axiomatique. Pour le psychologue, la notion d'algèbre des événements est intéressante parce qu'elle lui permet de mathématiser le monde des phénomènes qu'il veut décrire et étudier.
Nous présenterons quelques notions fondamentales de l'algèbre des événements en les illustrant autant que possible avec des exemples.
La notion d'épreuve est indissociable de celle d'événement. "À chaque épreuve est attachée un certain ensemble de résultats possibles ; de chaque événement de l'algèbre d'événements, on doit pouvoir affirmer, pour chaque résultat de l'épreuve [comprendre "chaque résultat possible"], s'il a eu lieu ou non" (Rényi, 1966, p. 2).
Donnons tout de suite un exemple inspiré par le travail de deux étudiantes en psychologie. Paul est un garçon de 3 ans qui joue avec sa mère dans une pièce. Au signal du psychologue, celle-ci quitte la pièce sans dire un mot et ferme la porte. Le psychologue est intéressé par la manière dont Paul réagit à ce départ. La description d'une réaction suppose deux données : l'état de Paul avant que sa mère ne le quitte (état initial), et l'état de Paul après que sa mère l'a quitté (état final). Nous négligerons la question de savoir ce qu'on appelle exactement "avant" et "après" pour aller à l'essentiel.
Ce que fait Paul avant que sa mère ne le quitte est une épreuve, qu'on peut noter E1 pour mémoire. Ce qu'il fait au moment où sa mère le quitte est une autre épreuve, qu'on peut noter E2. Les épreuves E1 et E2 sont associées à des événements possibles et il s'agit d'expliciter leur structure logique, autrement dit leur algèbre.
Le psychologue peut considérer les événements suivants : sourire (A), rire (B), s'impliquer dans le jeu (C), pleurer (D), crier (E), donner des coups (F). Nous négligerons le problème de l'objectivité de ce type d'événements, en considérant que tout observateur est interchangeable avec tout autre observateur. Le problème est de construire, à partir de ces éléments, la théorie descriptive de Paul dans cette situation (ou de tout autre enfant dans cette situation). Suivons Rényi avec cet exemple en tête.