Algèbre d'événements
Objectifs. Définir et illustrer la notion d'algèbre d'événements.
Prérequis.
Résumé. La notion de fréquence conditionnelle repose sur la donnée d'un couple de variables discrètes (X, Y). La fréquence d'une certaine valeur yj en Y conditionnellement à une certaine valeur xi en X est la proportion des cas de la classe xi qui ont pour valeur yj.
9. Algèbre de Boole
On dit qu'un ensemble Å d'éléments A, B, C, ... est une algèbre de Boole si :
- A et B étant deux éléments quelconques de Å, il existe un et un seul élément de Å, appelé produit de A et de B et noté AB, et un seul élément de Å, appelé somme de A et de B et noté A + B,
- à tout élément A de Å correspond un élément de Å noté ¬A,
- il existe deux éléments particuliers de l'ensemble Å : O et I (p8).
Revenons à notre préoccupation empirique : une description empirique utilisable scientifiquement doit être une algèbre de Boole parce que cette algèbre constitue un fondement logique aux descriptions possibles. La description d'Emma Bovary dans le roman de Flaubert serait utilisable scientifiquement si on pouvait expliciter l'algèbre de Boole qui sous-tend la compréhension des événements psychologiques dont est affectée Emma.
D'une manière générale, les descriptions qui relèvent de la psychologie dite (abusivement) qualitative souffrent d'un défaut de formalisation du référentiel de description (par exemple, les descriptions des réponses d'un individu quelconque au test de Rorschach ne sont pas associées à une algèbre de Boole).
Au contraire, les réponses possibles à un questionnaire ou à un test constituent une algèbre de Boole. Par exemple, les événements sourire (A), rire (B), s'impliquer dans le jeu (C), pleurer (D), crier (E), donner des coups (F) génèrent une algèbre de Boole, qui est le produit cartésien
Å = {A, ¬A} × {B, ¬B} × {C, ¬C} × {D, ¬D} × {E, ¬E} × {F, ¬F}.