Relation d'ordre et ordre partiel

Soit un ensemble E d'au moins trois éléments x, y et z et une relation binaire $\mathcal{R}$ définie sur E. $\mathcal{R}$ est une relation d'ordre si elle possède les propriétés suivantes :

• pour tout x et pour tout y de E, x ≠ y et x $\mathcal{R}$ y => y non$\mathcal{R}$ x : antisymétrie ; par exemple (cf. la photo illustrative en tête d'article), si Paul est devant Brigitte, Brigitte n'est pas devant Paul.
• pour tout x, y, z de E, (x $\mathcal{R}$ y) et (y $\mathcal{R}$ z) => x $\mathcal{R}$ z : transitivité ; par exemple, si Brigitte est devant Mathieu, alors Paul est devant Mathieu.
• si $\mathcal{R}$ est réflexive on parle de relation d'ordre, si $\mathcal{R}$ est anti-réflexive (il n'existe pas x tel que x$\mathcal{R}$x) on parle d'ordre strict.

Remarque : la relation "se trouver avant dans une file d'attente" n'est pas une relation réflexive, car on ne peut pas être avant soi-même. Toute relation d'ordre peut être rendue réflexive. Par exemple, la relation "se trouver avant ou à la même place dans une file d'attente" est une relation d'ordre réflexive.

En psychologie, les préférences sont souvent considérées comme des relations d'ordre. Mais il ne va pas de soi qu'une préférence soit une relation d'ordre. Par exemple, soient trois types de sucreries :

• des cacahuètes enrobées de chocolat revêtu d'une pellicule craquante, sucrée, et de couleur vive,
• des céréales soufflées enrobées de chocolat,
• des nounours translucides de différentes couleurs.

On peut préférer les cacahuètes aux céréales, les céréales aux nounours, et les nounours aux cacahuètes, on a : 1 > 2, 2 > 3, mais 3 > 1. En d'autres termes, contrairement aux relations d'ordre ou d'ordre strict, les préférences humaines ne sont pas toujours transitives.