Statistique : comparer des moyennes

A. La variance : formule générale classique

Nous l'avons dit, les variations sont ici mesurées par la variance, dont nous rappelons que la formule générale pour la variance s² d'un échantillon de mesures stockées dans une colonne de données X et dont la moyenne est .

Autrement dit, si l'on suit cette formule, on va...

• pour chacune des n observations de l'échantillon que l'on considère, calculer l'écart qui existe entre cette observation et la moyenne du groupe entier,
• passer cet écart au carré puis
• faire une sorte de moyenne de tous ces écarts carrés.

J'écris ici une sorte de moyenne car pour faire une vraie moyenne il aurait fallu en diviser la somme par n alors que nous divisons par n -1 pour des raisons formelles liées au fait qu'on travaille sur un échantillon et non sur la population entière.

B. La variance n'est pas " additive "

À cet instant, il faut nous souvenir que nous cherchons à attribuer l'ensemble des variations constatées de la VD à l'une de deux sources de variations possibles : les variations dues au facteur étudié (variations inter-groupes) et celles dues à d'autres déterminants inconnus (variations intra-groupes). 

Puisque dans l'ANOVA on représente les variations par la variance, nous avons donc trois types de variance :

• À l'ensemble total des variations, on pourra attribuer une variance Totale.
• À l'ensemble des variations dues au facteur, nous ferons correspondre une variance inter-groupes (on dit parfois aussi Variance du Traitement).
• Aux variations que l'on ne sait pas expliquer, nous ferons correspondre une variance d'erreur, appelée aussi, variance résiduelle ou encore variance intra-groupes.

Si l'on veut pouvoir attribuer dans nos données la part qui revient à chaque type de variation, il nous faut donc connaître la relation qui unit la variance totale, la variance d'erreur et la variance du traitement. Malheureusement, la variance n'est pas additive : dans le cas général       

Var _Totale ≠  (Var _Traitement + Var _Erreur )...  

Ce n'est donc pas pratique à manipuler et c'est pourquoi, dans le détail des calculs, nous passerons par une notion légèrement différente, la notion de "Somme des Carrés".