3. Comparer plus de deux moyennes : L'ANOVA à un facteur

3.8. Calculer la somme des carrés intra-groupes

7.1. Option simple : par différence

Il suffit de faire la différence des deux précédentes sommes de carrés :

SCIntra = SCtotale - SCInter

Le nombre de degrés de liberté associés peut lui aussi s'obtenir en faisant la différence entre le nombre de degrés de liberté de la SCTotale et le nombre de degrés de liberté de la SCInter.  Soit,  

  ddlIntra = ddlTotal - ddlInter = (N - 1) - (k - 1),

Et donc  finalement

ddlIntra N - k

Sur l'exemple, vous pouvez vérifier facilement que la SCintra est la différence des deux autres, et qu'il en va de même pour les ddlintra. Bien sûr, le CM ne peut se calculer aussi par différence, il faut rediviser la SCIntra par les ddlIntra.


7.2. Option complexe : directement

On peut aussi calculer les choses directement, si vous voulez vérifier les calculs par exemple.

Pour ce faire, on considère chaque groupe comme s'il était complètement indépendant des autres. On calcule la somme des carrés exactement de la même façon que la somme des carrés totale, mais en appliquant la formule aux seules données du groupe. Il suffit ensuite de sommer les SC obtenues indépendamment sur chacun des groupes pour avoir la SCInter.

Chaque groupe est alors associé à un nombre de degrés égal à son effectif  - 1, soit Nk - 1 et le nombre de degrés de liberté associés à la SCIntra s'obtient en faisant la somme des k groupes, ce qui donne N1 - 1 + N2 - 1 +... + Nk - 1, soit encore N1 + N2 + ... + Nk - 1 - 1 -... - 1 (on enlèvera k fois 1, donc au total, k), et donc puisque N1  + N2 + ... + Nk = N, on obtient bien ddlInter = N - k.

Reprenons notre exemple numérique :

Pour le groupe 1 nous avons :

Pour le groupe 2 nous avons :

Pour le groupe 3 nous avons : 



Et, finalement, nous faisons la somme des SC issues des trois tableaux précédents, nous trouvons SCIntra =38.8+53.2+126.83, soit 218.83. 

Et pour les ddlIntra , nous avons bien 4+4+5=13.

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