Relation d'ordre et ordre partiel

Objectifs : définir les notions de relation d'ordre et d'ordre partiel.

Prérequis : Relation d'équivalence

Utilisé comme prérequis dans les articles : Échelles de mesure

Résumé : Soit une relation binaire \mathcal{R} définie sur un ensemble E. \mathcal{R} est une relation d'ordre si elle est (1) réflexive; (2) antisymétrique et (3) transitive ; \mathcal{R} est une relation d'ordre strict, si elle est (1) antiréflexive; (2) antisymétrique; et (3) transitive. Une relation d'ordre partiel, on dit aussi un ordre partiel, est une relation d'ordre telle qu'il existe certains couples (x, y) d'éléments distincts de E qui ne peuvent être comparés : tels que (x non\mathcal{R} y) et (y non\mathcal{R} x).

rédaction : Stéphane Vautier

3. Ordre partiel

On appelle pour simplifier une relation d'ordre définie sur un ensemble E un ordre. Un ordre peut être total ou partiel. Un ordre total est une relation d'ordre \mathcal{R} telle que pour tout couple (x, y) d'éléments distincts de E,

  • x \mathcal{R} y ou
  • y \mathcal{R} x.

Un ordre partiel est une relation d'ordre R telle qu'il existe un couple (x, y) d'éléments distincts de E tel que :

  • x non\mathcal{R} y et
  • y non\mathcal{R} x.

Les applications psychométriques sont une mine d'exemples d'ordres partiels. Soient deux items de test dont les modalités de réponse sont "échec" et "réussite". Considérons une personne P1 dont les réponses sont (échec, réussite), et une personne P2 dont les réponses sont (réussite, échec).

On définit un ordre R à partir de l'ensemble des catégories de réponse aux deux items. On a :

(échec, échec) < (réussite, échec) < (réussite, réussite)

et aussi

(échec, échec) < (échec, réussite) < (réussite, réussite),

mais on ne peut pas écrire (échec, réussite) < (réussite, échec) ni (réussite, échec) < (échec, réussite).

Les personnes testées appartenant aux classes d'équivalence (échec, réussite) ne peuvent pas être comparées aux personnes appartenant à la classe d'équivalence (réussite, échec) selon la relation d'ordre définie plus haut. Les relations d'ordre définies à partir des catégories de réponses à plusieurs items d'un test sont des ordres partiels.